Thema 2: Die Rechnung bitte! - Lösungen: Gib nicht den Löffel ab (Zusatzaufgabe)

Lösung 5: Gib nicht den Löffel ab (Zusatzaufgabe)

a) Aus (1) erhalten wir für 𝑛≥2, dass

0=𝑋𝑛+1−𝛼∗𝑋𝑛−𝛽∗𝑌𝑛=𝑋𝑛+1−𝛼∗𝑋𝑛−𝛽∗(𝛾∗𝑋𝑛−1)=𝑋𝑛+1−𝛼∗𝑋𝑛−𝛽∗𝛾∗𝑋𝑛−1

b) Wir setzen 𝑋𝑛=𝑧𝑛 in (2) ein:
0=𝑧𝑛−𝛼∗𝑧𝑛−𝛽∗𝛾∗𝑧𝑛−1=𝑧𝑛−1∗(𝑧₂−𝛼∗𝑧−𝛾∗𝛽)
Produkte verschwinden, wenn mindestens einer der Faktoren verschwindet und da 𝑧≠0 folgt 𝑧₂−𝛼∗𝑧−𝛾∗𝛽=0.

Aus der p - q - Formel folgt: 𝑧₁=𝑧₂=∓12√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾

c) Die Gleichung 𝑋0=0 ist (durch Einsetzen) äquivalent zu:
0=𝑐₁∗𝑧₁0+𝑐₂∗𝑧₂0=𝑐₁+𝑐₂ , somit gilt 𝑐₁=−𝑐₂.
Wir setzen dies in die Gleichung 𝑋1=1 ein und erhalten: 1=𝑐₁∗ 𝑧₁+𝑐₂∗𝑧₂=𝑐₁∗ 𝑧₁−𝑐₁∗𝑧₂= 𝑐₁∗(𝑧₁−𝑧₂)=𝑐₁∗(12∗√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾−−12∗√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾)=𝑐₁∗√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾

Also haben wir 𝑐₁=−𝑐₂=1√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾.

(i) Da 𝛼,𝛽,𝛾>0 folgt 𝛼₂>0 und √𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾>0 , d.h. 𝑧₁>0 , denn die Summe

zweier positiver Zahlen ist immer positiv.
Die Dreiecksungleichung liefert |𝑧₂|=|𝛼₂−12√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾| ≤|𝛼₂|+|12√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾| =𝛼₂+ 12√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾| =𝑧₁
Wir haben also |𝑧₂|=𝑧₁.
Falls |𝑧₂|=𝑧₁, gilt entweder 𝑧₂=𝑧₁ oder 𝑧₂=𝑧₁
Aus 𝑧₂=𝑧₁folgt 𝛼=0
Aus 𝑧₂=−𝑧₁ folgt √𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾=0

Beide Fälle sind ausgeschlossen, also muss gelten: |𝑧₂|<𝑧₁.

(ii) Direktes Rechnen liefert 𝑋𝑛𝑧₁𝑛=𝑐₁∗𝑧₁𝑛𝑧₁𝑛+𝑐₂∗𝑧₂𝑛𝑧₁𝑛=𝑐₁+𝑐₂∗(𝑧₂𝑧₁)𝑛
Aus (i) wissen wir |𝑧₂|<𝑧₁ und daher ist |𝑧₂𝑧₁|<1, also 𝑧₂𝑧₁→0 𝑓ü𝑟 𝑛→∞

Daraus folgt: 𝑋𝑛𝑧₁𝑛→𝑐₁𝑓ü𝑟 𝑛→∞.

(iii) Wegen (ii) wächst 𝑋𝑛 asymptotisch so wie 𝑧₁𝑛.
Für 𝑧₁>1 ist 𝑧₁→∞,𝑧₁<1 folgt 𝑧₁𝑛→0 , da 𝑧₁>0.
Gleiches muss wegen (ii) auch für 𝑋𝑛 gelten. Für den
Fall 𝑧₁=1 𝑖𝑠𝑡 𝑧₁𝑛=1 𝑓ü𝑟 𝑗𝑒𝑑𝑒𝑠 𝑛.

Also 𝑋𝑛𝑧₁𝑛=𝑋𝑛₁→𝑐₁wegen (ii).

(iv) Wir lösen 𝑧₁=1 nach 𝛼 auf: 𝛼₂+ 12√𝛼2+4∗𝛽∗𝛾=1 |∗2 𝛼+√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾=2 |−𝛼
√𝛼₂+4∗𝛽∗𝛾 =−𝛼 |(…)2
➔ 𝛽∗𝛾=1−𝛼
Also 𝛼=1−𝛽∗𝛾.
Für den Fall 𝛾=12 und 𝛼=𝛽 erhalten wir 𝛼=23.