Thema 2: Die Rechnung bitte! - Lösungen

Lösung 3: Wurzeln ziehen im Gemüsebeet

Der Flächeninhalt eines rechteckigen Beetes ist 𝐴=(𝑎;𝑏)=𝑎∗𝑏, wobei 𝑎 die Breite und 𝑏 die Höhe bzw. Länge des Rechtecks ist.
Würden nicht alle Ecken des Rechtecks auf der Grundstückslinie (Grundstücksgrenze) liegen, dann lässt sich das Rechteck noch weiter vergrößern. Damit muss der rechts oben liegende Eckpunkt des Rechtecks, das wir bestimmen wollen, auf dem Graphen der Funktion 𝑓 liegen. Demnach können wir den Flächeninhalt schreiben als:

Es ist wichtig zu bemerken, dass der Flächeninhalt 𝐴 nur noch von der Breite 𝑎 des Rechtecks abhängt, sodass wir anstelle von 𝐴(𝑎;𝑏) nur noch 𝐴(𝑎) betrachten können. Dabei ist 𝐴(∗)die Flächeninhaltsfunktion, die wir maximieren wollen. Dazu bestimmen wir die erste Ableitung von 𝐴(𝑎)=−130∗𝑎₃+30. Es gilt:

𝐴′(𝑎)=3∗−130∗𝑎₂=−110∗𝑎₂ und aus 𝐴′(𝑎)=−110∗𝑎₂=0 folgt

Dabei ist natürlich nur die Breite 𝑎₂=17,32 zulässig, denn 𝑎₁ ist negativ. Somit kann dies keine Seitenlänge sein.
Um zu überprüfen, ob 𝑎₂ wirklich maximal ist, bestimmen wir (das Vorzeichen von) 𝐴′′(𝑎₂).

Es gilt: 𝐴′′(𝑎)= −15∗𝑎 und somit 𝐴′′(𝑎₂)=𝐴′′(17,32)=−15∗17,32= −3,464<0

Damit ist 𝑎₂ eine Maximalstelle.

Somit hat das Rechteck die Breite 𝑓(𝑎₂)=𝑓(17,32)=(−130∗17,322∗+30)≈20
und einen Flächeninhalt von 𝐴(𝑎₂)= 𝑎₂∗𝑓(𝑎₂)=17,32∗20=346,41