Aufgabe 5: Gib nicht den Löffel ab (Zusatzaufgabe)
Tipp: Die Teilaufgaben sind als Anleitung gedacht und sollen dich schrittweise zur Lösung führen. Trau dich es zu versuchen, auch wenn die Aufgabe sehr umfangreich wirkt. Es ist jederzeit möglich in den Teilaufgaben zu springen.
Die Gleichungen in den Teilaufgaben sind nummeriert von (1) bis (3).
Die Bäuerin besitzt neben ihrer Beete auch Hasen.
Mit \[X_n \] bezeichnen wir die Anzahl der erwachsenen und mit \[ Y_n \] die Anzahl der jungen Hasen im Monat n. Die Monate werden aufsteigend durch natürliche Zahlen n = 0; 1; 2;..;m (Dabei meint n=0 Monat 1, da noch keine Jungen bekommen wurden, Nummer 1 meint Monat 2, da hier einmal Jungen bekommen wurden,.., N=m meint Monat n-1, da hier n-1 mal Junge bekommen wurden) nummeriert.
Da die Bäuerin nicht beliebig viele Hasenpaare versorgen kann, verschenkt oder verkauft sie monatlich einige der Tiere. Außerdem bekommen nur manche der erwachsenen Tiere monatlich Nachwuchs.
Diese Menge, die Nachwuchs bekommt, nennen wir \[\gamma \]. Die Dynamik der Hasenpopulation wird wie folgt beschrieben:
(1) \[ X_{n+1} = \alpha \cdot X_n +\beta \cdot Y_n \]mit \[0 < \alpha , \beta \le 1 \]
\[ Y_{ n+1 } = \gamma \cdot X_{ n } \] mit \[0 \le \gamma \le 1 \]
Wir interpretieren \[ \alpha, \beta \] als die Anzahl der Hasen, die im Garten bleibt, und \[ \gamma \] als die Reproduktionsrate der erwachsenen Hasen.
Die Bäuerin möchte gerne wissen, wie viele Hasen sie monatlich verschenken oder verkaufen muss, damit sich die Hasenpopulation langfristig stabilisiert - also sie nicht irgendwann sehr viele oder gar keine Hasen mehr hat.
Lass uns der Bäuerin helfen!
(a) Zeige dazu, dass sich die Zahl der erwachsenen Paare durch
\[ { X }_{n+1} - \alpha \cdot { X }_{ n } - \beta \cdot \gamma \cdot { X }_{ n-1 } = 0 \] (2)
beschreiben lässt.
(b) Wir wollen (2) lösen. Dazu setzen wir ein \[ { X }_{ n }= { z } ^ { n } \], wobei \[{ z } \neq 0 \] eine reelle und noch unbekannte Zahl ist. Zeige, dass z folgende quadratische Gleichung erfüllt. (3) \[z^2- \alpha \cdot z -\beta \cdot \gamma = 0 \]
Löse dazu die Gleichung (3).
Zur Kontrolle: \[ { z }_{ 1 } = { z }_{ 2 } = \tfrac { \alpha} { 2 }+- \tfrac { 1 } { 2 } \cdot \sqrt { { \alpha }^{ 2 }+ 4 \cdot \beta \cdot \gamma} \]
(c) Die allgemeine Lösung von (2) hat die Form \[ { X }_{ n } = c_1 \cdot { z }_{ 1 }^{ n } + { c }_{ 2 } \cdot { z }_{ 2 }^{ n } \] mit \[ { c }_{ 1 } ,{ c }_{ 2 } \] zwei noch unbekannte, aber konstante Variablen. Wir kennen allerdings \[ z_1, z_2 \] schon: Dies sind die beiden Lösungen von (3).
Wir nehmen für die ersten beiden Monate (n = 0 und n=1) eine Anfangspopulation von \[ { X }_ { 0 } = 1, { Y }_{ 0 } = 0 \] an.
Bestimme daraus die Konstanten \[ c_1, c_2 \].
Zur Kontrolle: \[ c_1 = -c_2 = \frac {1} {\sqrt {\alpha^2+4 \cdot \beta \cdot \gamma}} \]
(d) Nun untersuchen wir das langfristige Verhalten der Hasenpopulation:
(i) Begründe, dass \[z_1>0\] gilt und folgere aus der Dreiecksungleichung, dass \[z_1>|z_2 | bzw. |\frac {z_1} {z_2} |<1 \]. (Zur Erinnerung: es gilt \[ \alpha, \beta, \gamma >0 \])
(ii) Zeige, dass \[ \frac {X_n} {z_1^n }→c_1 für n→∞ \].
TIPP: Dies bedeutet, dass das Verhalten von \[X_n\] für sehr große n nur durch \[ {z_1}^n \] bestimmt wird.
(iii) Begründe mit Hilfe von (ii), dass die Hasenpopulation für \[z_1>1 \]unendlich
wächst, sich für \[z_1=1 \]stabilisiert und für\[ z_1<1 \] auf 0 schrumpft.
Gegen welchen Wert strebt die Population im Fall (siehe unter dieser Frage)? \[z_1 = 1\]
(iv) Leite nun eine Beziehung zwischen \[ \alpha, \beta, \gamma \] her für den Fall, dass sich die Hasenpopulation stabilisiert.
(Tipp: Löse \[z_1=1 \]nach \[ \alpha \] auf).
Nun können wir das Problem der Bäuerin lösen: Der Erfahrung nach haben monatlich
nur etwa die Hälfte der erwachsenen Paare Nachwuchs. Außerdem möchte die Bäuerin
monatlich genauso viele junge wie erwachsene Tiere verkaufen.
Wie viele Tiere muss sie insgesamt monatlich verkaufen?
Berechne anhand der vorgegebenen Teilaufgaben.
___________________________________________________________________
Zusatzmaterial:
reelle Zahlen: https://www.studienkreis.de/mathematik/rationale-irrationale-reelle-zahlen/
Dreiecksungleichung: https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-lineare-algebra/vektorrechnung/einfuehrung-in-die-vektorrechnung/dreiecksungleichung.html
Grenzwerte (x--> unendlich für n--> unendlich): https://www.youtube.com/watch?v=LJo8kBy4DKE
https://www.youtube.com/watch?v=LJo8kBy4DKE
Die Begriffe "divergent", "konvergent", "Grenzwert" und "Folge" gehören zusammen. Diese werden im Studium behandelt. Jedoch ist das Prinzip gut verständlich und interessant, deshalb zum weiterlesen: https://www.youtube.com/watch?v=KowaR7WJbLUhttps://www.youtube.com/watch?v=7gnFGMkwQ0Y
