Aufgabe 5: Der ganz normale Corona-Wahnsinn (Zusatzaufgabe)
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In den vergangenen Jahren hat uns alle ein Virus sehr beschäftigt, das Coronavirus. Vielleicht warst du sogar schon selbst davon betroffen? Doch auch, wenn du bisher Glück hattest und von der Krankheit verschont geblieben bist, hat sich dein Leben sicher verändert. Begriffe wie Inzidenz und Inkubationszeit bestimmen nun den Alltag. Auch in der epidemiologischen Forschung gehören diese Begriffe zur Tagesordnung. Die Erfassung der Inkubationszeit neuer Krankheiten stellt für die Forschenden ein wiederkehrendes Problem dar. Diese Zeit beschreibt die Dauer zwischen der Ansteckung und dem Auftreten erster Symptome. Sie unterscheidet sich von Patient*in zu Patient*in erheblich.
Deswegen lässt sie sich als zufällige Größe T auffassen, die wie beispielsweise das Körpergewicht des Menschen einer gewissen Verteilung entspricht. Die Inkubationszeit kann dabei durch eine logarithmische Normalverteilung beschrieben werden, wie die Erfahrung mit anderen Viren gezeigt hat. Die zugehörige Funktion lautet für alle Inkubationszeiten t:
![Dichtefunktion Inkubationszeit](https://moodle.bildung-lsa.de/webakademie/pluginfile.php/8837/mod_assign/intro/Bildschirmfoto%202022-04-14%20um%2010.40.37.png)
Die beiden reellen Zahlen
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Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von Funktionen verschiedener logarithmisch-normalverteilter Zufallsgrößen.
![Dichtefunktionen](https://moodle.bildung-lsa.de/webakademie/pluginfile.php/8837/mod_assign/intro/Bildschirmfoto%202022-04-14%20um%2010.54.17.png)
Foto: Experimente-Werkstatt Mathematik
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine logarithmisch-normalverteilte Zufallsgröße T Werte \( \leq \) einer bestimmten Zeit t annimmt, lässt sich folgender Zusammenhang zur Verteilungsfunktion
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![Verteilungsfunktion](https://moodle.bildung-lsa.de/webakademie/pluginfile.php/8837/mod_assign/intro/Bildschirmfoto%202022-04-14%20um%2011.03.05.png)
In einem wissenschaftlichen Artikel geben britische Forscher
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![Werte Inkubationszeit in Zahlen](https://moodle.bildung-lsa.de/webakademie/pluginfile.php/8837/mod_assign/intro/Bildschirmfoto%202022-04-14%20um%2011.12.18.png)
Der Erwartungswert E(T) einer Zufallsgröße T beschreibt die Zahl, welche im Mittel angenommen wird (arithmetisches Mittel). Für logarithmisch-normalverteilte Zufallsgrößen ist
![Formel Erwartungswert](https://moodle.bildung-lsa.de/webakademie/pluginfile.php/8837/mod_assign/intro/Bildschirmfoto%202022-04-14%20um%2011.14.41.png)
(A) Berechne das arithmetische Mittel der Stichprobe. Mit dieser Näherung für den Erwartungswert lässt sich
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(B) Stelle den Graphen der Funktion
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(C) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
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